Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$5 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\sec (x)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$5 (\sec (\frac{π}{4}) - \sec (0))$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (0))$

Этап 3.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1)$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \frac{2}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Этап 3.3.2

Умножим $5 \frac{2}{\sqrt{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим $5$ и $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Этап 3.3.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Этап 3.3.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} - 5$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{10}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 5$

Этап 3.4.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{10}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 5$

Этап 3.4.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 5$

Этап 3.4.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 5$

Этап 3.4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 5$

Этап 3.4.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 5$

Этап 3.4.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 5$

Этап 3.4.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 5$

Этап 3.4.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 5$

Этап 3.4.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 5$

Этап 3.4.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{1}} - 5$

Этап 3.4.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2} - 5$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2} - 5$

Этап 3.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)} - 5$

Этап 3.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} - 5$

Этап 3.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{2}}{1} - 5$

Этап 3.4.3.2.4

Разделим $5 \sqrt{2}$ на $1$ .

$5 \sqrt{2} - 5$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$5 \sqrt{2} - 5$

Десятичная форма:

$2.07106781 \dots$