Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

Этап 2

Пусть $u = π - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = π - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $π - x$ .

$\frac{d}{d x} [π - x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $π - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 2.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = π - x$ .

$u_{lower} = π - 0$

Этап 2.3

Вычтем $0$ из $π$ .

$u_{lower} = π$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = π - x$ .

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 2.5.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

Этап 5

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

Этап 6

Найдем значение $- \cos (u)$ в $\frac{3 π}{4}$ и в $π$ .

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

Этап 7.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Этап 7.1.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Этап 7.1.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Этап 7.1.4

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

Этап 7.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 7.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Этап 7.3.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Этап 7.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \sqrt{2} + 2$

Десятичная форма:

$0.58578643 \dots$