Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Этап 2.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $\sqrt{2}$ и в $1$ .

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.1.5

Найдем экспоненту.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$2 (1 - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Этап 5.2.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 5.2.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2}$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$1$