Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} u^{3} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{1}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{4} u^{4}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0$

Этап 3.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4})$

Этап 3.2.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0$

Этап 3.2.6

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$