Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 + \tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $3 + \tan (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.1.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

Этап 1.3.1.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $3$ и $0$ .

$u_{lower} = 3$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

Этап 1.5.1.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

Этап 1.5.1.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

Этап 1.5.1.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $3$ и $1$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u_{2} |)$ в $4$ и в $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Десятичная форма:

$0.14384103 \dots$