Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 5} (2 x) \sin (2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \cos (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \cos (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 1.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Этап 1.5.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 1.5.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 1.5.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 2.2

Объединим ${u_{2}}^{- 5}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 5}}{2} d u_{2}$

Этап 2.3

Перенесем ${u_{2}}^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{5}} d u_{2})$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем ${u_{2}}^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{5})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{5 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 5.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} d u_{2}$

Этап 6

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 5}$ по $u_{2}$ имеет вид $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ в $\frac{1}{2}$ и в $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (- 16 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2.4

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 16}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2.5

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4}{1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2.5.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 7.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Этап 7.2.7

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4})$

Этап 7.2.8

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 7.2.9

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 7.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 4 + 1}{4}$

Этап 7.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 16 + 1}{4}$

Этап 7.2.11.2

Добавим $- 16$ и $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 15}{4}$

Этап 7.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} (- \frac{15}{4})$

Этап 7.2.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{15}{4}$

Этап 7.2.14

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Этап 7.2.15

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.16

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{15}{8}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{15}{8}$

Десятичная форма:

$1.875$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{7}{8}$