Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos (2 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) d x)$

Этап 4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Этап 9.2

Найдем значение $- \cos (u)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 (π)}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.3

Объединим $\frac{π}{4}$ и $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.4

Перепишем $\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ в виде произведения.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.5

Умножим $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.6

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.7

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.8

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.11

Добавим $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8}$ и $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.12

Чтобы записать $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{8}{8}$

Этап 9.3.13

Объединим $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Этап 9.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Этап 9.3.15

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 8 (\frac{1}{4}) (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Этап 9.3.16

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 8}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Этап 9.3.17

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.17.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Этап 9.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.17.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Этап 9.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Этап 9.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Этап 9.3.17.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Этап 10.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{8}$

Этап 10.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Этап 10.4

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Этап 10.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{8}$

Этап 10.6

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{8}$

Этап 10.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{π - 2}{8}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π - 2}{8}$

Десятичная форма:

$0.14269908 \dots$