Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 6 x$ . Тогда $d u_{1} = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 6 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $6$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

Этап 1.5

Умножим $6$ на $0.9$ .

$u_{upper} = 5.4$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\cos (\sqrt{u_{1}})$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , следовательно $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u_{2}$ и $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Этап 8

Интеграл $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $u_{2} \sin (u_{2})$ в $\sqrt{5.4}$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Этап 9.2

Найдем значение $- \cos (u_{2})$ в $\sqrt{5.4}$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Этап 9.3.2

Добавим $\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ и $0$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

Этап 10

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\sin (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Этап 11.2

Умножим $\sqrt{5.4}$ на $0.72964498$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Этап 11.3

Найдем значение $\cos (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

Этап 11.4

Умножим $- 1$ на $- 0.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

Этап 11.5

Добавим $0.68382614$ и $1$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

Этап 11.6

Умножим $- 1$ на $1.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

Этап 11.7

Вычтем $1.68382614$ из $1.69554172$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

Этап 11.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $0.01171557$ .

$\frac{0.01171557}{3}$

Этап 11.9

Разделим $0.01171557$ на $3$ .

$0.00390519$