Математический анализ Примеры

$x y + x^{3} = y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x y + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x y' + y + 3 x^{2}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + x y' + y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + x y' + y = 2 y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 y y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + x y' + y - 2 y y' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x y' + y - 2 y y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.2.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' - 2 y y' = - 3 x^{2} - y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x y' - 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x - 2 y y' = - 3 x^{2} - y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 3 x^{2} - y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x - 2 y) = - 3 x^{2} - y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (x - 2 y) = - 3 x^{2} - y$ на $x - 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (x - 2 y) = - 3 x^{2} - y$ на $x - 2 y$ .

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - y}{x - 2 y}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (y)}{x - 2 y}$

Этап 5.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + y)}{x - 2 y}$

Этап 5.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.1

Перепишем $- (3 x^{2} + y)$ в виде $- 1 (3 x^{2} + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + y)}{x - 2 y}$

Этап 5.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2} + y}{x - 2 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + y}{x - 2 y}$