Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 3 + \frac{1}{4} u^{4} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 3 d u + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Этап 5

Поскольку $- \frac{2}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- \frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{9} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{9}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $3 u$ в $1$ и в $0$ .

$(3 \cdot 1) - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Этап 7.2

Найдем значение $\frac{1}{5} u^{5}$ в $1$ и в $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Этап 7.3

Найдем значение $\frac{1}{10} u^{10}$ в $1$ и в $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$3 + 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.3

Добавим $3$ и $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.5

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.7

Умножим $0$ на $- 1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.8

Умножим $0$ на $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.9

Добавим $\frac{1}{5}$ и $0$ .

$3 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.10

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4 \cdot 5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.11

Умножим $4$ на $5$ .

$3 + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.12

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{20}{20}$ .

$3 \cdot \frac{20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.13

Объединим $3$ и $\frac{20}{20}$ .

$\frac{3 \cdot 20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 20 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.15.1

Умножим $3$ на $20$ .

$\frac{60 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.15.2

Добавим $60$ и $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.16

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} \cdot 1 - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.17

Умножим $\frac{1}{10}$ на $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Этап 7.4.18

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0)$

Этап 7.4.19

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0 (\frac{1}{10}))$

Этап 7.4.20

Умножим $0$ на $\frac{1}{10}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0)$

Этап 7.4.21

Добавим $\frac{1}{10}$ и $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10}$

Этап 7.4.22

Умножим $\frac{1}{10}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{10 \cdot 3}$

Этап 7.4.23

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{30}$

Этап 7.4.24

Сократим общий множитель $2$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.24.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2 (1)}{30}$

Этап 7.4.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.24.2.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Этап 7.4.24.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Этап 7.4.24.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{61}{20} - \frac{1}{15}$

Этап 7.4.25

Чтобы записать $\frac{61}{20}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15}$

Этап 7.4.26

Чтобы записать $- \frac{1}{15}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.4.27

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $60$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.27.1

Умножим $\frac{61}{20}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.4.27.2

Умножим $20$ на $3$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.4.27.3

Умножим $\frac{1}{15}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{15 \cdot 4}$

Этап 7.4.27.4

Умножим $15$ на $4$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{60}$

Этап 7.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{61 \cdot 3 - 4}{60}$

Этап 7.4.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.29.1

Умножим $61$ на $3$ .

$\frac{183 - 4}{60}$

Этап 7.4.29.2

Вычтем $4$ из $183$ .

$\frac{179}{60}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{179}{60}$

Десятичная форма:

$2.98\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{59}{60}$

Этап 9