Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 1

Разделим $x$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 5

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $x$ в $1$ и в $0$ .

$(1) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Этап 7.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $2$ и в $1$ .

$(1) + 0 - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$1 - \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Этап 9.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$1 - \ln (\frac{2}{1})$

Этап 9.3

Разделим $2$ на $1$ .

$1 - \ln (2)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 - \ln (2)$

Десятичная форма:

$0.30685281 \dots$

Этап 11