Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x^{7} \sqrt{1 - x^{8}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x^{8}$ . Тогда $d u = - 8 x^{7} d x$ , следовательно $- \frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x^{8}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - x^{8}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{8}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{8}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$0 - (8 x^{7})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$0 - 8 x^{7}$

Этап 1.1.4

Вычтем $8 x^{7}$ из $0$ .

$- 8 x^{7}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{8}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{8}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 8} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Этап 2.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{0} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{8} \int_{1}^{0} \sqrt{u} d u)$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{0}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $0$ и в $1$ .

$- \frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 7.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3})$

Этап 7.2.8

Вычтем $\frac{2}{3}$ из $0$ .

$- \frac{1}{8} (- \frac{2}{3})$

Этап 7.2.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) \frac{2}{3}$

Этап 7.2.10

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Этап 7.2.11

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{8 \cdot 3}$

Этап 7.2.12

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{2}{24}$

Этап 7.2.13

Сократим общий множитель $2$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{24}$

Этап 7.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Этап 7.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Этап 7.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{12}$

Десятичная форма:

$0.08\overline{3}$

Этап 9