Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

Этап 1

Пусть $u = \frac{π}{4} y$ . Тогда $d u = \frac{π}{4} d y$ , следовательно $\frac{4}{π} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{π}{4} y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{π}{4} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{π}{4}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{π}{4} y$ по $y$ равна $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{π}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{4}{π}$ на $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

Этап 2.3

Объединим $\tan^{2} (u)$ и $\frac{4}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

Этап 2.4

Перенесем $4$ влево от $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{4}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{4}{π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

Этап 4

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (u)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Этап 7

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 8

Объединим $- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ и $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $- u + \tan (u)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $\tan (0)$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

Этап 10.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

Этап 10.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

Этап 10.4

Добавим $- \frac{π}{4} + 1$ и $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Этап 11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Этап 11.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Этап 11.3.3

Перепишем это выражение.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

Этап 11.4

Умножим $\frac{4}{π}$ на $1$ .

$- 1 + \frac{4}{π}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 1 + \frac{4}{π}$

Десятичная форма:

$0.27323954 \dots$