Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

Этап 1

Пусть $u = t^{4} + 7 t$ . Тогда $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ , следовательно $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = t^{4} + 7 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $t^{4} + 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $t^{4} + 7 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [7 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $7 t$ по $t$ равна $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$4 t^{3} + 7$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $7$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Этап 1.5.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $7$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $8$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.7

Добавим $2$ и $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.8

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 4.2.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Этап 4.2.12

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Этап 4.2.13

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

Этап 4.2.14

Добавим $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ и $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Десятичная форма:

$15.08494466 \dots$

Этап 6