Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x + 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 x + 1$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $4$ на $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Этап 2.2

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{4 u} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $5$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Этап 7.3

Разделим $5$ на $1$ .

$\frac{\ln (5)}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (5)}{4}$

Десятичная форма:

$0.40235947 \dots$

Этап 9