Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $(A) (1 - x)$ на $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.7.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.7.5

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 1.1.7.5.2

Разделим $(B) (1 + x)$ на $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Этап 1.1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Этап 1.1.7.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Этап 1.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Этап 1.1.8.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Этап 1.1.8.3

Перенесем $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Этап 1.1.8.4

Перенесем $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $- 1 (1 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.3.2

Умножим $B$ на $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.4.2.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 - x}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 1 + x$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 7

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 7.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 7.3

Вычтем $0$ из $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 7.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{0}))$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| u_{2} |)]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{1}^{0}}{2}$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $\ln (| u_{1} |)$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{1}^{0}}{2}$

Этап 12.2

Найдем значение $\ln (| u_{2} |)$ в $0$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - \frac{(\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |)}{2}$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Чтобы записать $\frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |)}{2}$

Этап 12.3.2

Объединим $\frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |)}{2}$

Этап 12.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2 - (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Этап 12.3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Этап 12.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Этап 12.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Этап 12.3.6

Умножим $\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$ на $1$ .

$\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Этап 13.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 0 |}{| 1 |})}{2}$

Этап 13.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{| 2 |}{| 1 |}}{\frac{| 0 |}{| 1 |}})}{2}$

Этап 13.4

Перепишем $\frac{\frac{| 2 |}{| 1 |}}{\frac{| 0 |}{| 1 |}}$ в виде произведения.

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 0 |}{| 1 |}})}{2}$

Этап 13.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{| 0 |}{| 1 |}$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 0 |}))}{2}$

Этап 13.6

Умножим $\frac{| 1 |}{| 0 |}$ на $1$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 0 |})}{2}$

Этап 13.7

Умножим $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ на $\frac{| 1 |}{| 0 |}$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 | | 1 |}{| 1 | | 0 |})}{2}$

Этап 13.8

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{\ln (\frac{| 2 \cdot 1 |}{| 1 | | 0 |})}{2}$

Этап 13.9

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 | | 0 |})}{2}$

Этап 13.10

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 \cdot 0 |})}{2}$

Этап 13.11

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 0 |})}{2}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{0})}{2}$

Этап 14.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{0})}{2}$

Этап 15

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные