Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Этап 2

Пусть $u = 1 + t^{2}$ . Тогда $d u = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + t^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $1 + t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $2 t$ .

$2 t$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 1 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 1 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Этап 5.3

Умножим $\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Этап 7

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $2$ и в $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Этап 9.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Этап 9.3

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (2)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2)$

Десятичная форма:

$0.69314718 \dots$

Этап 11