Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} a x + b x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} a x d x + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Этап 2

Поскольку $a$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $a$ из-под знака интеграла.

$a \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $b$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $b$ из-под знака интеграла.

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + b \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + b \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + b \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$a ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + b \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$a (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$a (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$a (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$a (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$a (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$a (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$a (\frac{1}{2} - 0) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$a (\frac{1}{2} + 0) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$a \frac{1}{2} + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.6

Объединим $a$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 7.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 7.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - 0)$

Этап 7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} + 0)$

Этап 7.2.3.11

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{a}{2} + b \frac{1}{3}$

Этап 7.2.3.12

Объединим $b$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{a}{2} + \frac{b}{3}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $a$ .

$\frac{a}{2} + \frac{1}{3} b$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $b$ .

$\frac{a}{2} + \frac{b}{3}$

Этап 9