Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

Этап 1.2

Умножим $\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ на $32 y - 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $32 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $32 y$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (16 y) + 2 (- 1)$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Этап 3

Пусть $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Тогда $d u = (16 y - 1) d y$ , следовательно $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $8 y^{2} - y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $8 y^{2} - y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $y$ , производная $8 y^{2}$ по $y$ равна $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$16 y - 1 + 0$

Этап 3.1.5.2

Добавим $16 y - 1$ и $0$ .

$16 y - 1$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

Этап 3.3.1.2

Умножим $8$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Этап 3.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

Этап 3.5.1.2

Умножим $8$ на $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

Этап 3.5.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из $8$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Этап 3.5.3

Добавим $7$ и $1$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Этап 4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

Этап 6

Объединим $\frac{3}{2}$ и $u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ в $8$ и в $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.5

Умножим $3$ на $4$ .

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.6.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Этап 7.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

Этап 7.2.8

Умножим $3$ на $1$ .

$2 (6 - \frac{3}{2})$

Этап 7.2.9

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Этап 7.2.10

Объединим $6$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Этап 7.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Этап 7.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.12.1

Умножим $6$ на $2$ .

$2 \frac{12 - 3}{2}$

Этап 7.2.12.2

Вычтем $3$ из $12$ .

$2 (\frac{9}{2})$

Этап 7.2.13

Объединим $2$ и $\frac{9}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Этап 7.2.14

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{18}{2}$

Этап 7.2.15

Сократим общий множитель $18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.15.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Этап 7.2.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Этап 7.2.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1}$

Этап 7.2.15.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9$

Этап 8