Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} x^{2} \cdot \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Этап 4.2.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$

Этап 6

Найдем значение $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$

Этап 7

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные