Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 5 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 5 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Этап 3

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 8 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 8 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 8 x]_{0}^{2}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}$ и $8 x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 8 x]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $16$ .

$\frac{16}{4} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.4

Умножим $8$ на $2$ .

$4 + 16 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.5

Добавим $4$ и $16$ .

$20 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$20 - (\frac{1}{4} \cdot 0 + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.7

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$20 - (0 + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.8

Умножим $8$ на $0$ .

$20 - (0 + 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.9

Добавим $0$ и $0$ .

$20 - 0 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$20 + 0 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.11

Добавим $20$ и $0$ .

$20 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.12

Возведем $2$ в степень $3$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.14

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.14.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.15

Умножим $- 1$ на $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} + 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.16

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.17

Объединим $- 5$ и $\frac{8}{3}$ .

$20 + \frac{- 5 \cdot 8}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.18

Умножим $- 5$ на $8$ .

$20 + \frac{- 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$20 - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.20

Чтобы записать $20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.21

Объединим $20$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20 \cdot 3 - 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.23.1

Умножим $20$ на $3$ .

$\frac{60 - 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.23.2

Вычтем $40$ из $60$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.24

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.25.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.25.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.26

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0}{2})$

Этап 10.2.4.27

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.27.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 10.2.4.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 10.2.4.27.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 10.2.4.27.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0}{1})$

Этап 10.2.4.27.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - 0)$

Этап 10.2.4.28

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 + 0)$

Этап 10.2.4.29

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 \cdot 2$

Этап 10.2.4.30

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{20}{3} + 4$

Этап 10.2.4.31

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 10.2.4.32

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Этап 10.2.4.33

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20 + 4 \cdot 3}{3}$

Этап 10.2.4.34

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.34.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{20 + 12}{3}$

Этап 10.2.4.34.2

Добавим $20$ и $12$ .

$\frac{32}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32}{3}$

Десятичная форма:

$10.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$10 \frac{2}{3}$

Этап 12