Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} r^{2} e^{3 r} d r$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = r^{2}$ и $d v = e^{3 r}$ .

$r^{2} (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 r}$ .

$r^{2} \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Этап 2.2

Объединим $r^{2}$ и $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3} \cdot 2$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $\frac{1}{3} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = r$ и $d v = e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Этап 6.2

Объединим $r$ и $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{e^{3 r}}{3} d r)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} d r))$

Этап 8

Пусть $u = 3 r$ . Тогда $d u = 3 d r$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d r$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 3 r$ . Найдем $\frac{d u}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $3 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 r]$

Этап 8.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $r$ , производная $3 r$ по $r$ равна $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 \frac{d}{d r} [r]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $r$ в $u = 3 r$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 8.3

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $r$ в $u = 3 r$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Этап 8.5

Умножим $3$ на $2$ .

$u_{upper} = 6$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Этап 9

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Этап 12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} e^{u}]_{0}^{6})$

Этап 13

Объединим $e^{u}]_{0}^{6}$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Этап 14.2

Найдем значение $\frac{r e^{3 r}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Этап 14.3

Найдем значение $e^{u}$ в $6$ и в $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 e^{3 \cdot 2}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.6

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.7

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.9

Добавим $\frac{4 e^{6}}{3}$ и $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.10

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.11

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.12

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.13

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.14

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.14.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.15

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} + 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.16

Добавим $\frac{2 e^{6}}{3}$ и $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Этап 14.4.17

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1 \cdot 1}{9})$

Этап 14.4.18

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Этап 14.4.19

Чтобы записать $\frac{2 e^{6}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Этап 14.4.20

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.20.1

Умножим $\frac{2 e^{6}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Этап 14.4.20.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{9} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Этап 14.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 e^{6} \cdot 3 - (e^{6} - 1)}{9}$

Этап 14.4.22

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$

Этап 14.4.23

Умножим $\frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Этап 14.4.24

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{27}$

Этап 14.4.25

Перенесем $2$ влево от $6 e^{6} - (e^{6} - 1)$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2 \cdot (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Этап 14.4.26

Чтобы записать $\frac{4 e^{6}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Этап 14.4.27

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.27.1

Умножим $\frac{4 e^{6}}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Этап 14.4.27.2

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{27} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Этап 14.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 e^{6} \cdot 9 - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Этап 14.4.29

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Этап 15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} - - 1)}{27}$

Этап 15.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} + 1)}{27}$

Этап 15.2

Вычтем $e^{6}$ из $6 e^{6}$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6} + 1)}{27}$

Этап 15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6}) - 2 \cdot 1}{27}$

Этап 15.4

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2 \cdot 1}{27}$

Этап 15.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2}{27}$

Этап 15.6

Вычтем $10 e^{6}$ из $36 e^{6}$ .

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Десятичная форма:

$388.41291225 \dots$

Этап 17