Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} {(x - 6)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 6$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Этап 1.3

Вычтем $6$ из $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 2 - 6$

Этап 1.5

Вычтем $6$ из $2$ .

$u_{upper} = - 4$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 4$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 6}^{- 4} u^{2} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 6}^{- 4}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $- 4$ и в $- 6$ .

$(\frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 64 - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 64$ .

$\frac{- 64}{3} - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Этап 3.2.4

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$- \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 216$

Этап 3.2.5

Умножим $- 216$ на $- 1$ .

$- \frac{64}{3} + 216 (\frac{1}{3})$

Этап 3.2.6

Объединим $216$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{216}{3}$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3}$

Этап 3.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}$

Этап 3.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}$

Этап 3.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{64}{3} + \frac{72}{1}$

Этап 3.2.7.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$- \frac{64}{3} + 72$

Этап 3.2.8

Чтобы записать $72$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.2.9

Объединим $72$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 64 + 72 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.11.1

Умножим $72$ на $3$ .

$\frac{- 64 + 216}{3}$

Этап 3.2.11.2

Добавим $- 64$ и $216$ .

$\frac{152}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{152}{3}$

Десятичная форма:

$50.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$50 \frac{2}{3}$

Этап 5