Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (y - 1) (2 y + 1) d y$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2} y (2 y + 1) - 1 (2 y + 1) d y$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y + 1) d y$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Этап 1.4

Изменим порядок $y$ и $2$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + 1 \cdot y - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Этап 1.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Этап 1.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y^{1}) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Этап 1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{2} 2 y^{1 + 1} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Этап 1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Этап 1.10

Умножим $y$ на $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Этап 1.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Этап 1.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 d y$

Этап 1.13

Вычтем $2 y$ из $y$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} - y - 1 d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{2} y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Этап 7

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

Этап 10.2

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - y]_{0}^{2}$

Этап 10.3

Найдем значение $- y$ в $2$ и в $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.5

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$2 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.6

Объединим $2$ и $\frac{8}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.7

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.9.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 (0)}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{16}{3} - (2 - 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 + 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.13

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.14

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{16}{3} - 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.15

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.16

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 - 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.18.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{16 - 6}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.18.2

Вычтем $6$ из $16$ .

$\frac{10}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Этап 10.4.19

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{10}{3} - 2 + 0$

Этап 10.4.20

Добавим $- 2$ и $0$ .

$\frac{10}{3} - 2$

Этап 10.4.21

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 10.4.22

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Этап 10.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10 - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 10.4.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.24.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{10 - 6}{3}$

Этап 10.4.24.2

Вычтем $6$ из $10$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$1.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{3}$

Этап 12