Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (2 x - 3) (4 x^{2} + 1) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2} + 1) - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Этап 1.4

Перенесем $x$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Этап 1.5

Перенесем $x$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $4$ .

$\int_{0}^{2} 8 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Этап 1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Этап 1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{2} 8 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Этап 1.9

Добавим $1$ и $2$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Этап 1.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Этап 1.11

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Этап 1.12

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 d x$

Этап 1.13

Перенесем $2 x$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 3 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 3

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 6

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $0$ .

$8 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Этап 13.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Этап 13.4

Найдем значение $- 3 x$ в $2$ и в $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$8 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$8 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 (4 - \frac{0}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$8 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (4 - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$8 (4 - 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 (4 + 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.6

Добавим $4$ и $0$ .

$8 \cdot 4 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.7

Умножим $8$ на $4$ .

$32 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.10.2.2

Сократим общий множитель.

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.10.2.3

Перепишем это выражение.

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} + 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.12

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.13

Объединим $- 12$ и $\frac{8}{3}$ .

$32 + \frac{- 12 \cdot 8}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.14

Умножим $- 12$ на $8$ .

$32 + \frac{- 96}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.15

Сократим общий множитель $- 96$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.15.1

Вынесем множитель $3$ из $- 96$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.15.2.2

Сократим общий множитель.

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.15.2.3

Перепишем это выражение.

$32 + \frac{- 32}{1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.15.2.4

Разделим $- 32$ на $1$ .

$32 - 32 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.16

Вычтем $32$ из $32$ .

$0 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.17

Возведем $2$ в степень $2$ .

$0 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.18

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.18.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.18.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.18.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.18.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$0 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.19

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.20

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.20.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$0 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.20.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.20.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.20.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0 + 2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.21

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.22

Добавим $2$ и $0$ .

$0 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.23

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + 4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.24

Добавим $0$ и $4$ .

$4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.25

Умножим $- 3$ на $2$ .

$4 - 6 + 3 \cdot 0$

Этап 13.5.26

Умножим $3$ на $0$ .

$4 - 6 + 0$

Этап 13.5.27

Добавим $- 6$ и $0$ .

$4 - 6$

Этап 13.5.28

Вычтем $6$ из $4$ .

$- 2$

Этап 14