Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Этап 2

Пусть $u = π x$ . Тогда $d u = π d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = π x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $π$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 2$

Этап 2.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$u_{upper} = 2 π$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Этап 3

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Этап 5

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Этап 10

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $- \cos (u)$ в $2 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Этап 13.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.6

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.8

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.8.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 13.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

Этап 13.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

Этап 13.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 13.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 13.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

Этап 13.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

Этап 13.4.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

Этап 13.4.12

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

Этап 13.4.13

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

Этап 13.4.14

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

Этап 13.4.15

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

Этап 14

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

Этап 15.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

Этап 15.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

Этап 15.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

Этап 15.5

Умножим $\frac{1}{π}$ на $0$ .

$0 + 4$

Этап 15.6

Добавим $0$ и $4$ .

$4$