Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 24 e^{4 x} d x$

Этап 1

Поскольку $24$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $24$ из-под знака интеграла.

$24 \int_{0}^{1} e^{4 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$24 \int_{0}^{4} e^{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$24 \int_{0}^{4} \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$24 (\frac{1}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $24$ .

$\frac{24}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $24$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4 (1)} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 1} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Этап 5.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$6 (e^{u}]_{0}^{4})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $e^{u}$ в $4$ и в $0$ .

$6 ((e^{4}) - e^{0})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$6 (e^{4} - 1 \cdot 1)$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 (e^{4} - 1)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 e^{4} + 6 \cdot - 1$

Этап 8.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$6 e^{4} - 6$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$6 e^{4} - 6$

Десятичная форма:

$321.58890019 \dots$

Этап 10