Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} z e^{- z} d z$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = z$ и $d v = e^{- z}$ .

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- z} d z$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

Этап 3.2

Умножим $\int_{0}^{1} e^{- z} d z$ на $1$ .

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

Этап 4

Пусть $u = - z$ . Тогда $d u = - d z$ , следовательно $- d u = d z$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - z$ . Найдем $\frac{d u}{d z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- z$ .

$\frac{d}{d z} [- z]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- z$ по $z$ равна $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{d}{d z} [z]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $z$ в $u = - z$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $z$ в $u = - z$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $z (- e^{- z})$ в $1$ и в $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Этап 7.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 1$ и в $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 7.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 7.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 7.3.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 7.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 7.3.6

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 7.3.7

Добавим $- e^{- 1}$ и $0$ .

$- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 7.3.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Этап 7.3.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1)$

Этап 8.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1)$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1$

Этап 8.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{- 1 - 1}{e}$

Этап 8.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$1 + \frac{- 2}{e}$

Этап 8.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{2}{e}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 - \frac{2}{e}$

Десятичная форма:

$0.26424111 \dots$

Этап 10