Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{8 y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{8 y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

Этап 1.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{- 8 y}$ .

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $e^{- 8 y}$ и $\frac{1}{8}$ .

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Этап 3.2

Объединим $y$ и $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Этап 4

Поскольку $- \frac{1}{8}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- \frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

Этап 6

Пусть $u = - 8 y$ . Тогда $d u = - 8 d y$ , следовательно $- \frac{1}{8} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = - 8 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $- 8 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

Этап 6.1.2

Поскольку $- 8$ является константой относительно $y$ , производная $- 8 y$ по $y$ равна $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 8$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = - 8 y$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Этап 6.3

Умножим $- 8$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = - 8 y$ .

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

Этап 6.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$u_{upper} = - 8$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Этап 7.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Этап 10.2

Умножим $8$ на $8$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Этап 11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ в $1$ и в $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Этап 12.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 8$ и в $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.2

Умножим $e^{- 8}$ на $1$ .

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.3

Перенесем $e^{- 8}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.4

Умножим $- 8$ на $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.6

Умножим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.7

Сократим общий множитель $0$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.7.1

Вынесем множитель $8$ из $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.7.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.8

Добавим $- \frac{1}{8 e^{8}}$ и $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 12.3.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Этап 12.3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

Этап 12.3.11

Чтобы записать $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.12

Объединим $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ и $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.14

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.15

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.16

Объединим $e^{8}$ и $\frac{- 8}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.17

Перенесем $- 8$ влево от $e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.18

Сократим общий множитель $- 8$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.18.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.18.2.1

Вынесем множитель $8$ из $64$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Этап 12.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Этап 13.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Этап 13.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Этап 13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.2

Умножим $\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.2.1

Объединим $\frac{e^{8}}{8}$ и $e^{- 8}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.2.2

Умножим $e^{8}$ на $e^{- 8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.2.2.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.2.3

Упростим $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.3

Объединим $\frac{e^{8}}{8}$ и $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.4.1

Перенесем $- 1$ влево от $e^{8}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.7

Добавим $8$ и $1$ .

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.9.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.9.2

Перепишем $e^{8}$ в виде ${(e^{4})}^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.1.9.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = e^{4}$ .

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

Этап 14.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

Этап 14.3

Объединим.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

Этап 14.4

Умножим $3 + e^{4}$ на $1$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

Этап 14.5

Умножим $8$ на $8$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

Этап 14.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Десятичная форма:

$0.01557782 \dots$

Этап 16