Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} y^{3} - yd y d y$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} y^{3} d y + \int_{0}^{1} - yd y d y$

Этап 2

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - yd y d y$

Этап 3

Поскольку $- yd$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- yd$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1} - yd \int_{0}^{1} y d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1} - yd \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1} - yd \frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} y^{4}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - yd \frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1}$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0 - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.6

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 5.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 5.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 5.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 5.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 5.2.3.11

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{4} - yd \frac{1}{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $- yd$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{2} yd$

Этап 5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} yd$

Этап 6