Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 11 x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Этап 1

Поскольку $11$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$11 \int_{0}^{1} x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 + x^{11}$ . Тогда $d u = 11 x^{10} d x$ , следовательно $\frac{1}{11} d u = x^{10} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + x^{11}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{11}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{11}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{11}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 11$ .

$0 + 11 x^{10}$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $11 x^{10}$ .

$11 x^{10}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{11}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{11}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$11 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{11} d u$

Этап 3

Объединим $u^{10}$ и $\frac{1}{11}$ .

$11 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{11} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{11}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{11}$ из-под знака интеграла.

$11 (\frac{1}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{11}$ и $11$ .

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Этап 5.3

Умножим $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ на $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{10}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{11} u^{11}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $2$ в степень $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{1}{11}$ и $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Этап 7.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Этап 7.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Этап 7.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Этап 7.2.6

Вычтем $1$ из $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2047}{11}$

Десятичная форма:

$186.\overline{09}$

Форма смешанных чисел:

$186 \frac{1}{11}$

Этап 9