Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 8 \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Этап 2

Пусть $u = \frac{π t}{2}$ . Тогда $d u = \frac{π}{2} d t$ , следовательно $\frac{2}{π} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \frac{π t}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\frac{π t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{π t}{2}$ по $t$ равна $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $π \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

Этап 2.3.1.2.4

Разделим $π \cdot 0$ на $1$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Этап 2.3.2

Умножим $π$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

Этап 2.5

Умножим $π$ на $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{π}{2}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{2}{π}$ на $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

Этап 3.3

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{2}{π}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

Этап 3.4

Перенесем $2$ влево от $\cos (u)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{2}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{2}{π}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{2}{π}$ и $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{16}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Этап 7

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$\frac{16}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{16}{π} (1 - \sin (0))$

Этап 8.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{16}{π} (1 - 0)$

Этап 8.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{16}{π} (1 + 0)$

Этап 8.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{16}{π} \cdot 1$

Этап 8.5

Умножим $\frac{16}{π}$ на $1$ .

$\frac{16}{π}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{16}{π}$

Десятичная форма:

$5.09295817 \dots$