Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 8 e^{2 x} d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$8 \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Этап 5.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$4 (e^{u}]_{0}^{2})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $e^{u}$ в $2$ и в $0$ .

$4 ((e^{2}) - e^{0})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 (e^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 (e^{2} - 1)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 e^{2} + 4 \cdot - 1$

Этап 8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 e^{2} - 4$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$4 e^{2} - 4$

Десятичная форма:

$25.55622439 \dots$

Этап 10