Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \arcsin (y) d y$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arcsin (y)$ и $d v = 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Этап 2

Объединим $y$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Этап 3

Пусть $u = 1 - y^{2}$ . Тогда $d u = - 2 y d y$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 1 - y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 3.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 y$

Этап 3.1.4

Вычтем $2 y$ из $0$ .

$- 2 y$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 4.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 6.2

Умножим $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ на $1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 8.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 8.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 8.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\arcsin (y) y$ в $1$ и в $0$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Этап 10.2

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $0$ и в $1$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\arcsin (1)$ на $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.3

Умножим $0$ на $\arcsin (0)$ .

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.4

Добавим $\arcsin (1)$ и $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.7.2

Перепишем это выражение.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.8

Найдем экспоненту.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.9

Умножим $2$ на $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

Этап 10.3.11

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

Этап 10.3.12

Вычтем $2$ из $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Этап 10.3.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

Этап 10.3.14

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Этап 10.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 10.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 10.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

Этап 10.3.14.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\arcsin (1) - 1$

Этап 11

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{2} - 1$

Десятичная форма:

$0.57079632 \dots$