Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 9 x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Этап 1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int_{0}^{1} x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2} - 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} - 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$9 \int_{- 1}^{0} u^{9} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $u^{9}$ и $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{- 1}^{0} \frac{u^{9}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{9}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{9}{2} \frac{1}{10} u^{10}]_{- 1}^{0}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{10} u^{10}$ в $0$ и в $- 1$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{1}{10} \cdot 0^{10}) - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{9}{2} (\frac{1}{10} \cdot 0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{1}{10}$ на $0$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Этап 7.2.3

Возведем $- 1$ в степень $10$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Этап 7.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10})$

Этап 7.2.5

Вычтем $\frac{1}{10}$ из $0$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{10})$

Этап 7.2.6

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 10}$

Этап 7.2.7

Умножим $2$ на $10$ .

$- \frac{9}{20}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{9}{20}$

Десятичная форма:

$- 0.45$

Этап 9