Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 3 \sqrt{x} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 4.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 4.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Этап 4.2.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Этап 4.2.2.7

Умножим $2$ на $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 4.2.2.8

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 4.2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 4.2.2.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - 0)$

Этап 4.2.2.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0)$

Этап 4.2.2.10

Добавим $\frac{2}{3}$ и $0$ .

$3 (\frac{2}{3})$

Этап 4.2.2.11

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3}$

Этап 4.2.2.12

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3}$

Этап 4.2.2.13

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3}$

Этап 4.2.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Этап 4.2.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Этап 4.2.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1}$

Этап 4.2.2.13.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5