Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 5 x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{1} x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 + x^{5}$ . Тогда $d u = 5 x^{4} d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 + x^{5}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 + x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{5}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $3 + x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$0 + 5 x^{4}$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $5 x^{4}$ .

$5 x^{4}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 + x^{5}$ .

$u_{lower} = 3 + 0^{5}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ и $0$ .

$u_{lower} = 3$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 + x^{5}$ .

$u_{upper} = 3 + 1^{5}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 3 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ и $1$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$5 \int_{3}^{4} u^{4} \frac{1}{5} d u$

Этап 3

Объединим $u^{4}$ и $\frac{1}{5}$ .

$5 \int_{3}^{4} \frac{u^{4}}{5} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Этап 5.3

Умножим $\int_{3}^{4} u^{4} d u$ на $1$ .

$\int_{3}^{4} u^{4} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{3}^{4}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{5} u^{5}$ в $4$ и в $3$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $4$ в степень $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $1024$ .

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Этап 7.2.3

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 243$

Этап 7.2.4

Умножим $243$ на $- 1$ .

$\frac{1024}{5} - 243 (\frac{1}{5})$

Этап 7.2.5

Объединим $- 243$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1024}{5} + \frac{- 243}{5}$

Этап 7.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1024}{5} - \frac{243}{5}$

Этап 7.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1024 - 243}{5}$

Этап 7.2.8

Вычтем $243$ из $1024$ .

$\frac{781}{5}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{781}{5}$

Десятичная форма:

$156.2$

Форма смешанных чисел:

$156 \frac{1}{5}$

Этап 9