Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x \sin (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \cos (x) d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \cos (x) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \cos (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $\int_{0}^{1} \cos (x) d x$ на $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \sin (x)]_{0}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x (- \cos (x))]_{0}^{1}$ и $\sin (x)]_{0}^{1}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ в $1$ и в $0$ .

$(1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Этап 5.2.2.3

Умножим $0$ на $\cos (0)$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - (0 + \sin (0))$

Этап 5.2.2.4

Добавим $0$ и $\sin (0)$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - \sin (0)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - 0$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \cos (1) + \sin (1) + 0$

Этап 5.3.3

Добавим $- \cos (1) + \sin (1)$ и $0$ .

$- \cos (1) + \sin (1)$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Найдем значение $\cos (1)$ .

$- 1 \cdot 0.5403023 + \sin (1)$

Этап 5.4.2

Умножим $- 1$ на $0.5403023$ .

$- 0.5403023 + \sin (1)$

Этап 5.4.3

Добавим $- 0.5403023$ и $\sin (1)$ .

$0.30116867$