Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \sin (3 π t) d t$

Этап 1

Пусть $u = 3 π t$ . Тогда $d u = 3 π d t$ , следовательно $\frac{1}{3 π} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 π t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 π t$ .

$\frac{d}{d t} [3 π t]$

Этап 1.1.2

Поскольку $3 π$ является константой относительно $t$ , производная $3 π t$ по $t$ равна $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 π \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 π \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3 π$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 3 π t$ .

$u_{lower} = 3 π \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $3 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $0$ на $3$ .

$u_{lower} = 0 π$

Этап 1.3.2

Умножим $0$ на $π$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 3 π t$ .

$u_{upper} = 3 π \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$u_{upper} = 3 π$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3 π} d u$

Этап 2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{3 π}$ .

$\int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3 π} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3 π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3 π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3 π} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3 π} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Этап 5

Найдем значение $- \cos (u)$ в $3 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + \cos (0))$

Этап 6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (π) + 1)$

Этап 7.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{3 π} (- - \cos (0) + 1)$

Этап 7.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- - 1 + 1)$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3 π} (1 + 1)$

Этап 7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3 π} \cdot 2$

Этап 7.7

Объединим $\frac{1}{3 π}$ и $2$ .

$\frac{2}{3 π}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3 π}$

Десятичная форма:

$0.21220659 \dots$