Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{10} 3 e^{0.7 (10 - t)} d t$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{10} e^{0.7 (10 - t)} d t$

Этап 2

Пусть $u = 0.7 (10 - t)$ . Тогда $d u = - 0.7 d t$ , следовательно $\frac{1}{- 0.7} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 0.7 (10 - t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $0.7 (10 - t)$ .

$\frac{d}{d t} [0.7 (10 - t)]$

Этап 2.1.2

Поскольку $0.7$ является константой относительно $t$ , производная $0.7 (10 - t)$ по $t$ равна $0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$

Этап 2.1.3

По правилу суммы производная $10 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 2.1.4

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10$ относительно $t$ равна $0$ .

$0.7 (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 2.1.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.7 (- \frac{d}{d t} [t])$

Этап 2.1.7

Умножим $- 1$ на $0.7$ .

$- 0.7 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 0.7 \cdot 1$

Этап 2.1.9

Умножим $- 0.7$ на $1$ .

$- 0.7$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{lower} = 0.7 (10 - 0)$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $0$ из $10$ .

$u_{lower} = 0.7 \cdot 10$

Этап 2.3.2

Умножим $0.7$ на $10$ .

$u_{lower} = 7$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 1 \cdot 10)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 10)$

Этап 2.5.2

Вычтем $10$ из $10$ .

$u_{upper} = 0.7 \cdot 0$

Этап 2.5.3

Умножим $0.7$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 0$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} \frac{1}{- 0.7} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} (- \frac{1}{0.7}) d u$

Этап 3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{0.7}$ .

$3 \int_{7}^{0} - \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (- \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{0.7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.7}$ из-под знака интеграла.

$- 3 (\frac{1}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{0.7}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{3}{0.7} e^{u}]_{7}^{0}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $e^{u}$ в $0$ и в $7$ .

$- \frac{3}{0.7} ((e^{0}) - e^{7})$

Этап 9.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{3}{0.7} (1 - e^{7})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим $3$ на $0.7$ .

$- 1 \cdot 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $4.\overline{285714}$ .

$- 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Этап 10.3

Умножим $- 4.\overline{285714}$ на $1 - e^{7}$ .

$4695.57067897$

Этап 11