Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{8} 8 + \sqrt[3]{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{8} 8 d x + \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $8 x]_{0}^{8}$ и $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$ .

$8 x + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $8 x + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ в $8$ и в $0$ .

$(8 \cdot 8 + \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $8$ на $8$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot 16 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.6

Объединим $\frac{3}{4}$ и $16$ .

$64 + \frac{3 \cdot 16}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.7

Умножим $3$ на $16$ .

$64 + \frac{48}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.8

Сократим общий множитель $48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$64 + \frac{12}{1} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.8.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$64 + 12 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.9

Добавим $64$ и $12$ .

$76 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.10

Умножим $8$ на $0$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.11

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Этап 5.2.2.12

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})})$

Этап 5.2.2.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.13.1

Сократим общий множитель.

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})})$

Этап 5.2.2.13.2

Перепишем это выражение.

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{4})$

Этап 5.2.2.14

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

Этап 5.2.2.15

Умножим $\frac{3}{4}$ на $0$ .

$76 - (0 + 0)$

Этап 5.2.2.16

Добавим $0$ и $0$ .

$76 - 0$

Этап 5.2.2.17

Умножим $- 1$ на $0$ .

$76 + 0$

Этап 5.2.2.18

Добавим $76$ и $0$ .

$76$

Этап 6