Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{8} 8 e^{- x} d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{0}^{8} e^{- x} d x$

Этап 2

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$8 \int_{0}^{- 8} - e^{u} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (- \int_{0}^{- 8} e^{u} d u)$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- 8 (e^{u}]_{0}^{- 8})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 8$ и в $0$ .

$- 8 ((e^{- 8}) - e^{0})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 8 e^{- 8} - 8 \cdot - 1$

Этап 7.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$- 8 e^{- 8} + 8$

Этап 7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{8}} + 8$

Этап 7.3.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{- 8}{e^{8}} + 8$

Этап 7.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Десятичная форма:

$7.99731629 \dots$

Этап 9