Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Тогда $d u = - \frac{3}{4} d x$ , следовательно $- \frac{4}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{2 - 3 x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 - 3 x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Этап 1.1.3

По правилу суммы производная $2 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

Этап 1.1.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $2 - 3 \cdot 0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

Этап 1.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

Этап 1.3.1.4

Изменим порядок членов.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

Этап 1.3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

Этап 1.3.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

Этап 1.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

Этап 1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $0$ на $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

Этап 1.3.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $2 - 3 \cdot 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

Этап 1.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \cdot 8$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

Этап 1.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

Этап 1.5.1.4

Изменим порядок членов.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

Этап 1.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

Этап 1.5.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

Этап 1.5.1.6.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.6.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

Этап 1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

Этап 1.5.2.2

Вычтем $1$ из $12$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

Этап 1.5.3

Умножим $- 1$ на $11$ .

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

Этап 1.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

Этап 2.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3}{4}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

Этап 2.3

Умножим $\frac{4}{3}$ на $1$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

Этап 2.4

Объединим $\frac{4}{3}$ и $u^{2}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{4}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{4}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $- \frac{11}{2}$ и в $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Этап 6.2.2

Применим правило умножения к $- (\frac{11}{2})$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Этап 6.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило умножения к $\frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Этап 7.1.2

Возведем $11$ в степень $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Этап 7.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Этап 7.1.4

Умножим $\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1331}{8}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Этап 7.1.4.2

Умножим $3$ на $8$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Этап 7.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Этап 7.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

Этап 7.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

Этап 7.1.8

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

Этап 7.1.8.2

Умножим $8$ на $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

Этап 7.3

Вычтем $1$ из $- 1331$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Этап 7.4.3

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Этап 7.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Этап 7.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 1332$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

Этап 7.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

Этап 7.5.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 444}{6}$

Этап 7.6

Разделим $- 444$ на $6$ .

$- - 74$

Этап 7.7

Умножим $- 1$ на $- 74$ .

$74$

Этап 8