Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{1 - x}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Этап 3.2

Умножим $\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ на $1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Этап 4

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 4.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 4.3

Вычтем $0$ из $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Этап 4.5.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $x (- e^{1 - x})$ в $8$ и в $0$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Этап 7.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 7$ и в $1$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3.6

Упростим.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3.8

Умножим $0$ на $e$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3.9

Добавим $- 8 e^{- 7}$ и $0$ .

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Этап 7.3.10

Упростим.

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Этап 8.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{e^{7}}$ .

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Этап 8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

Этап 8.5

Умножим $- - e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

Этап 8.5.2

Умножим $e$ на $1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Десятичная форма:

$2.71007489 \dots$

Этап 10