Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

Этап 1

Пусть $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Тогда $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ , следовательно $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $5$ на $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $3 y^{2} - 2 y + 5$ и $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $5$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 1.3.4

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $7$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Этап 1.5.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Этап 1.5.1.3

Умножим $- 1$ на $49$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Этап 1.5.1.4

Умножим $5$ на $7$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $49$ из $343$ .

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

Этап 1.5.3

Добавим $294$ и $35$ .

$u_{upper} = 329 + 1$

Этап 1.5.4

Добавим $329$ и $1$ .

$u_{upper} = 330$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

Этап 3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $330$ и в $1$ .

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $330$ равно $330$ .

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

Этап 5.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{330}{1})$

Этап 5.3

Разделим $330$ на $1$ .

$\ln (330)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (330)$

Десятичная форма:

$5.79909265 \dots$

Этап 7