Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{1}{2} t} d t$

Этап 1

Объединим $t$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{t}{2}} d t$

Этап 2

Поскольку $10$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int_{0}^{6} e^{- \frac{t}{2}} d t$

Этап 3

Пусть $u = - \frac{t}{2}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{2} d t$ , следовательно $- 2 d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = - \frac{t}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Этап 3.1.2

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{t}{2}$ по $t$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{2}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 3.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{2}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим $6$ на $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Этап 3.5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \cdot 2 d u$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - 2 e^{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$10 (- 2 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u)$

Этап 6

Умножим $- 2$ на $10$ .

$- 20 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- 20 (e^{u}]_{0}^{- 3})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 3$ и в $0$ .

$- 20 ((e^{- 3}) - e^{0})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1 \cdot 1)$

Этап 8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 20 e^{- 3} - 20 \cdot - 1$

Этап 9.2

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$- 20 e^{- 3} + 20$

Этап 9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{e^{3}} + 20$

Этап 9.3.2

Объединим $- 20$ и $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{- 20}{e^{3}} + 20$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Десятичная форма:

$19.00425863 \dots$

Этап 11