Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{9} \frac{1}{3} x - 2 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{9} \frac{1}{3} x d x + \int_{0}^{9} - 2 d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} - 2 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - 2 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9} + - 2 x]_{0}^{9}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $9$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) + - 2 x]_{0}^{9}$

Этап 5.2

Найдем значение $- 2 x$ в $9$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) + - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0) - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0 (\frac{1}{2})) - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0) - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.6

Добавим $\frac{81}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{81}{2} - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{81}{2}$ .

$\frac{81}{3 \cdot 2} - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.8

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{81}{6} - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $81$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$\frac{3 (27)}{6} - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2} - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2} - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27}{2} - 2 \cdot 9 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.10

Умножим $- 2$ на $9$ .

$\frac{27}{2} - 18 + 2 \cdot 0$

Этап 5.3.11

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{27}{2} - 18 + 0$

Этап 5.3.12

Добавим $- 18$ и $0$ .

$\frac{27}{2} - 18$

Этап 5.3.13

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.3.14

Объединим $- 18$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2}$

Этап 5.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 - 18 \cdot 2}{2}$

Этап 5.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.16.1

Умножим $- 18$ на $2$ .

$\frac{27 - 36}{2}$

Этап 5.3.16.2

Вычтем $36$ из $27$ .

$\frac{- 9}{2}$

Этап 5.3.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$- 4.5$

Форма смешанных чисел:

$- 4 \frac{1}{2}$

Этап 7