Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{81} \frac{81}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Поскольку $81$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $81$ из-под знака интеграла.

$81 \int_{0}^{81} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$81 \int_{0}^{81} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$81 \int_{0}^{81} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 \int_{0}^{81} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$81 \int_{0}^{81} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$81 \int_{0}^{81} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$81 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{81})$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}}$ в $81$ и в $0$ .

$81 ((2 \cdot 81^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$81 (2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$81 (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$81 (2 \cdot 9^{1} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2.4

Найдем экспоненту.

$81 (2 \cdot 9 - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2.5

Умножим $2$ на $9$ .

$81 (18 - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$81 (18 - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 (18 - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$81 (18 - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 4.2.8.2

Перепишем это выражение.

$81 (18 - 2 \cdot 0^{1})$

Этап 4.2.9

Найдем экспоненту.

$81 (18 - 2 \cdot 0)$

Этап 4.2.10

Умножим $- 2$ на $0$ .

$81 (18 + 0)$

Этап 4.2.11

Добавим $18$ и $0$ .

$81 \cdot 18$

Этап 4.2.12

Умножим $81$ на $18$ .

$1458$

Этап 5