Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{9} 18 x - 27 x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{9} 18 x d x + \int_{0}^{9} - 27 x^{2} d x$

Этап 2

Поскольку $18$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $18$ из-под знака интеграла.

$18 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} - 27 x^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$18 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - 27 x^{2} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - 27 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 27$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 27$ из-под знака интеграла.

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) - 27 \int_{0}^{9} x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) - 27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) - 27 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $9$ и в $0$ .

$18 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 27 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $9$ и в $0$ .

$18 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$18 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$18 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$18 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$18 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$18 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$18 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$18 (\frac{81}{2} - 0) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$18 (\frac{81}{2} + 0) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5

Добавим $\frac{81}{2}$ и $0$ .

$18 (\frac{81}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.6

Объединим $18$ и $\frac{81}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 81}{2} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.7

Умножим $18$ на $81$ .

$\frac{1458}{2} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8

Сократим общий множитель $1458$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $1458$ .

$\frac{2 \cdot 729}{2} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 729}{2 (1)} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 729}{2 \cdot 1} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{729}{1} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8.2.4

Разделим $729$ на $1$ .

$729 - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9

Возведем $9$ в степень $3$ .

$729 - 27 (\frac{729}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10

Сократим общий множитель $729$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$729 - 27 (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$729 - 27 (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$729 - 27 (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$729 - 27 (\frac{243}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10.2.4

Разделим $243$ на $1$ .

$729 - 27 (243 - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$729 - 27 (243 - \frac{0}{3})$

Этап 7.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$729 - 27 (243 - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 7.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$729 - 27 (243 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$729 - 27 (243 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$729 - 27 (243 - \frac{0}{1})$

Этап 7.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$729 - 27 (243 - 0)$

Этап 7.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$729 - 27 (243 + 0)$

Этап 7.2.3.14

Добавим $243$ и $0$ .

$729 - 27 \cdot 243$

Этап 7.2.3.15

Умножим $- 27$ на $243$ .

$729 - 6561$

Этап 7.2.3.16

Вычтем $6561$ из $729$ .

$- 5832$

Этап 8