Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\ln (16)} e^{\frac{x}{4}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{x}{4}$ . Тогда $d u = \frac{1}{4} d x$ , следовательно $4 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{x}{4}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Этап 1.3

Разделим $0$ на $4$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (16)}{4}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $\ln (16)$ в виде $\ln (2^{4})$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (2^{4})}{4}$

Этап 1.5.2

Развернем $\ln (2^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Этап 1.5.3.2

Разделим $\ln (2)$ на $1$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \cdot 4 d u$

Этап 2.3

Перенесем $4$ влево от $e^{u}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} 4 e^{u} d u$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{\ln (2)} e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$4 (e^{u}]_{0}^{\ln (2)})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $e^{u}$ в $\ln (2)$ и в $0$ .

$4 ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$4 (2 - e^{0})$

Этап 5.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 (2 - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 (2 - 1)$

Этап 5.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$4 \cdot 1$

Этап 5.2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 6